Question

已知一扇形的周长为c（c>0），求当扇形的中心角为多大时，它有最大的面积？

 

Answer 1

答案：
解析：

设扇形的半径为r，中心角为θ弧度，扇形的面积为S，则c=2r+rθ，r= ∴S=。 考虑到运用判别式法求分式函数最值，则有     解法一  ∵2Sθ2+(8S－c2)θ+8S=0，又∵θ有实数解。     ∴△=(8S－c2)2－4.2S·8S≥0，即S≤。     将S=代入上述方程，得     θ2－4θ+4=0，解得θ=2。     所以，当扇形中心角θ=2弧度时，扇形有最大面积。     若考虑到运用均值不等式，则有     解法二  S=r2θ=·2r·rθ ≤。 解法三  S= 。