Question

已知M、N、E、F分别是正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁  的棱BB₁、B₁C₁、AB和AD的中点.

（I）求异面直线MN和CD₁所成的角；

（II）证明：EF//平面B₁CD₁.

Answer 1

（1）60°

解析:

（I）连结BC₁、AD₁、AC，则在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB、A₁B₁、C₁D₁

所以四边形ABC₁D₁为平行四边形，从而AD₁//BC₁.

又M、N分别为BB₁，B₁C₁的中点，，进而MN//AD₁.

从而∠AD₁C为异面直线MN与CD₁所成的角. ………………4分

令正方体棱长为a，则AD₁=D₁C=AC=. 即△AD₁C为正三角形

所以，即异面直线MN和CD₁所成的角为60°    ……6分

（II）证明: ∵ BB₁ //DD₁   BB₁ =DD₁   ∴四边形BB₁D₁D是平行四边形 

∴  BD // B₁D₁                                                  ……8分

又E、F分别是棱、AB和AD的中点.  ∴EF//BD ∴  EF // B₁D₁ ……10分

 EF 平面B₁CD₁  B₁D₁平面B₁CD₁

∴EF//平面B₁CD₁                                                       ……12分