Question

如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（-，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L
（1）求L的方程；
（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切线长定理得，从一点出发的切线长相等，得到A点到两个点B，C的距离之差是常数，根据双曲线的定义得A点的轨迹是双曲线，从而即可求出L的方程；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，设点Q（x，0），再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由条件得∠MQC=∠NQC，下面分类讨论：①当MN⊥x，②当MN不垂直x时，第一种情况比较简单，对于第二种情况，将直线的方程代入双曲线方程，消去y得到关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用斜率相等求得，从而说明存在点Q．
解答：解：（1）由题意|AD|=|AF|．|BD|=|BE|，|CE|=|CF|．
∴|AB|-|AC|=|BD|-|CF|=|BE|-|CE|=|BO|+|OE|-（|OC|-|OE|）=2|OE|
I（1，t），E（1，0），|OE|=1，|AB|-|AC|=2
x²-y²=1（x＞1）
（2）设点Q（x，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵???∠MQC=∠NQC
（6分）
于是：①当MN⊥x，点Q（x，0）在x上任何一点处，都能够使得：
∠MQC=∠NQC成立，（8分）
②当MN不垂直x时，设直线．
由得：
则：
∴
∵，要使∠MQC=∠NQC成立，
只要tan∠MQC=tan∠NQC：⇒x₂y₁-xy₁+x₁y₂-xy₂=0
即=
∴⇒∴当时，能够使：
对任意的直线m成立．（15分）
点评：本题主要考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的交点等知识，属于中档题．