Question

【题目】如图，在三陵锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，为的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角的平面角为锐角，且棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据等腰三角形三线合一，可证明线线垂直，再根据线面垂直判定定理，即可证明；

（2）根据题意，点在平面内的射影在射线上，再根据锥体体积公式可知，由线面垂直的判定定理，可证平面，则建系：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求线面角.

（1）

证明：∵，为中点，∴，

又为等边三角形，，∴，

，∴平面，

平面，∴平面平面；

（2）由（1）知点在平面内的射影在直线上，又二面角的平面角为锐角，∴在射线上，，，∴，

又，∴，即为中点，取中点，连接，则，

∴平面，∴两两互相垂直，

以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则

设平面的法向量为

由得

令，得平面的一个法向量为，

又，设与平面所成角为，

则，

∴直线与平面所成角的正弦值为.