Question

【题目】已知数列的首项为1，各项均为正数，其前项和为，,.

（1）求,的值;

（2）求证：数列为等差数列；

（3）设数列满足，，求证：.

Answer 1

【答案】(1),;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】

(1)令 即可求出,的值;

(2)由得两式相减进行整理可得,即可证明为等差数列.

(3)由(2)可知,两式相减整理得,则当时,,通过放缩即可证明; 当时,.从而可证.

解:(1)令得,,又,解得;

令得,,即,从而.

(2)因为 ①;所以 ②

①-②得,.因为数列的各项均为正数,所以.

从而.

去分母得,

化简并整理得,,即,

所以.所以数列为等差数列.

(3)由(2)知, ③.当时,,又,所以.

由③知, ④.③-④得,

即,依题意,,所以.

当时,

,当时,,原不等式也成立.

综上得,.