Question

设函数f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x，其中m＞0．
（Ⅰ）求当m=1时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（Ⅱ）已知函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，再求出f′（1）即可；
（Ⅱ）题意等价于方程-

1

3

x²+x+m²-1=0有两个相异的实根x₁、x₂，故x₁+x₂=3且△=1+

4

3

（m²-1）＞0，再分类讨论，即可确定m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当m=1时，f′（x）=-x²+2x，故f′（1）=1．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．
（Ⅱ）由题意f（x）=x（-

1

3

x²+x+m²-1）=-

1

3

x（x-x₁）（x-x₂）
∴方程-

1

3

x²+x+m²-1=0有两个相异的实根x₁、x₂，故x₁+x₂=3且△=1+

4

3

（m²-1）＞0，所以m＞

1

2

∵x₁＜x₂，∴2x₂＞x₁+x₂=3，故x₂＞

3

2

＞1
1°若x₁≤1＜x₂，则f（1）=-

1

3

（1-x₁）（1-x₂）≥0，而f（x₁）=0，不合题意；
2°若1＜x₁＜x₂，对任意的x∈[x₁，x₂]，x-x₁≥0，x-x₂≤0，则f（x）=-

1

3

x（x-x₁）（x-x₂）≥0
而f（x₁）=0，∴f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0
∴对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件为f（1）=m²-

1

3

＜0
∴-

3

3

＜m＜

3

3

综上，

1

2

＜m＜

3

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．