Question

若不等式ax²+5x-2＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜2}，则不等式ax²-5x+（a²-1）＞0的解集是

(-3，

1

2

)

．

Answer 1

分析：先由二次不等式的解集形式，判断出

1

2

，2是方程ax²+5x-2=0的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax²-5x+a²-1＞0易解出其解集．

解答：解：∵ax²+5x-2＞0的解集是 {x|

1

2

＜x＜2}，
∴a＜0，且

1

2

，2是方程ax²+5x-2=0的两根
韦达定理

1

2

×2=

-2

a

，解得 a=-2；
则不等式ax²-5x+a²-1＞0即为-2x²-5x+3＞0，
解得 {x|-3＜x＜

1

2

}
故不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集 (-3，

1

2

)．
故答案为：(-3，

1

2

)

点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及“三个二次”（三个二次指的是：二次函数，一元二次不等式，一元二次方程）之间的关系，“三个二次”之间的关系及应用是数形结合思想的典型代表．