Question

在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，G是AB上任意一点．
（1）求证：SG∥平面DEF；
（2）如果三棱锥S-ABC中各条棱长均为a，G是AB的中点，求SG与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明DE∥AB，利用线面平行的判定定理证明AB∥平面DEF，同理SA∥平面DEF，利用面面平行的判定定理，证明SG∥平面DEF；
（2）证明∠SGO 就是SG与平面ABC所成角，从而可求SG与平面ABC所成角的余弦值．

解答：（1）证明：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∵AB?平面DEF，DE?平面DEF，
∴AB∥平面DEF，
同理SA∥平面DEF，
∵AB∩SA=A，
∴平面SAB∥平面DEF，

面SAB∥面DEF SG?面SAB

⇒SG∥面DEF；
（2）解：∵SG=

3

2

a，S在面ABC内的射影O在CG上，且GO=

3

6

a
∴∠SGO 就是SG与平面ABC所成角，
∴cos∠SGO=

1

3

．

点评：本题考查线面平行，考查面面平行，考查线面角，正确运用线面平行，面面平行的判定定理是关键．