Question

13．已知点P（1，-1）在抛物线C：y=ax²上，过点P作两条斜率互为相反数的直线分别交抛物线C于点A、B（异于点P）．
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标．
（Ⅱ）记直线AB交y轴于点（0，y₀），求y₀的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将P（1，-1）代入抛物线的方程，解得a的值，即可得到抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）设直线AP：y+1=k（x-1），代入抛物线的方程，运用韦达定理可得A的坐标，将k换为-k，可得B的坐标，求得直线AB的斜率和方程，令x=0，可得y₀，运用k≠±2，0，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）将P（1，-1）代入抛物线的方程，
得a=-1，
即有抛物线x²=-y的焦点坐标为$（0，-\frac{1}{4}）$；
（Ⅱ）设直线AP：y+1=k（x-1），
与抛物线方程y=-x²联立消y，得x²+kx-k-1=0，
由1•x_A=-（k+1），即x_A=-（k+1），
将k换为-k，同理可得x_B=k-1，
由题知x_A，x_B，1互不相同，即k≠±2，0，
则AB的斜率${k_{AB}}=\frac{{{y_A}-{y_B}}}{{{x_A}-{x_B}}}=\frac{{-{x_A}^2+{x_B}^2}}{{{x_A}-{x_B}}}=-（{x_A}+{x_B}）=2$，
准线AB：y+（k+1）²=2（x+k+1），
令x=0，可得${y_0}=2（k+1）-{（k+1）^2}$=1-k²，
又k≠±2，0，
则y₀∈（-∞，-3）∪（-3，1）．

点评 本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．