Question

16．设命题p：f（x）=$\frac{1}{x-m}$在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|对任意实数，a∈[-1，1]恒成立；若（￢p）∧q为真命题，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：利用反比例函数的单调性可得：m≤1．命题q；利用根与系数的关系可得：|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+8}$．根据a∈[-1，1]，可得$\sqrt{{a}^{2}+8}$∈$[2\sqrt{2}，3]$．由不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|对任意实数，a∈[-1，1]恒成立，可得m²+5m-3≥3．由（￢p）∧q为真命题，可得p为假命题，q为真命题．

解答 解：命题p：f（x）=$\frac{1}{x-m}$在区间（1，+∞）上是减函数，∴m≤1．
命题q；x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+8}$．
∵a∈[-1，1]，∴$\sqrt{{a}^{2}+8}$∈$[2\sqrt{2}，3]$．
由不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|对任意实数，a∈[-1，1]恒成立，
∴m²+5m-3≥3，即m²+5m-6≥0，解得m≥1或m≤-6．
∵（￢p）∧q为真命题，
∴p为假命题，q为真命题．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≥1或m≤-6}\end{array}\right.$，解得m＞1．
∴实数m的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．