Question

设公差不为0的等差数列{a_n}的首项为1，且a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），由a₂，a₅，a₁₄构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得a_n；
（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，

bn

an

=1-

1

2n

-（1-

1

2n-1

）=

1

2n

，再由（Ⅰ）可求得b_n，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得T_n；

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，
∴a52=a₂a₁₄，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍去），或d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）由已知，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1-

1

2n

，n∈N^*，
当n=1时，

b1

a1

=

1

2

；
当n≥2时，

bn

an

=1-

1

2n

-（1-

1

2n-1

）=

1

2n

．
∴

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*．
由（Ⅰ），知a_n=2n-1，n∈N^*，
∴b_n=

2n-1

2n

，n∈N^*．
又T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，
则

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

．
两式相减，得

1

2

T_n=

1

2

+（

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

）-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴T_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和，属中档题．