题目内容
设公差不为0的等差数列{an}的首项为1,且a2,a5,a14构成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足,n∈N*,求{bn}的前n项和Tn.
【答案】分析:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由a2,a5,a14构成等比数列得关于d的方程,解出d后利用等差数列的通项公式可得an;
(Ⅱ)由条件可知,n≥2时,=1--(1-)=,再由(Ⅰ)可求得bn,注意验证n=1的情形,利用错位相减法可求得Tn;
解答:解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
∵a2,a5,a14构成等比数列,
∴=a2a14,即(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
解得d=0(舍去),或d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(Ⅱ)由已知,,n∈N*,
当n=1时,=;
当n≥2时,=1--(1-)=.
∴=,n∈N*.
由(Ⅰ),知an=2n-1,n∈N*,
∴bn=,n∈N*.
又Tn=+++…+,
则Tn=++…++.
两式相减,得Tn=+(++…+)-=--,
∴Tn=3-.
点评:本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和,属中档题.
(Ⅱ)由条件可知,n≥2时,=1--(1-)=,再由(Ⅰ)可求得bn,注意验证n=1的情形,利用错位相减法可求得Tn;
解答:解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
∵a2,a5,a14构成等比数列,
∴=a2a14,即(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
解得d=0(舍去),或d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(Ⅱ)由已知,,n∈N*,
当n=1时,=;
当n≥2时,=1--(1-)=.
∴=,n∈N*.
由(Ⅰ),知an=2n-1,n∈N*,
∴bn=,n∈N*.
又Tn=+++…+,
则Tn=++…++.
两式相减,得Tn=+(++…+)-=--,
∴Tn=3-.
点评:本题考查等差数列等比数列的综合应用、错位相减法对数列求和,属中档题.
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