Question

已知f（x）=log₂（x+1），g(x)=

1

2

log2(

x

2

+1)．
（1）若f（x）≤g（x），求x的取值范围；
（2）当x在（1）给的范围内取值时，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用对数函数的定义和性质，将对数不等式等价转化为整式不等式组，即可解得x的取值范围；（2）先利用对数运算性质求得函数F（x）的解析式，再利用复合函数求值域的方法，先利用函数的单调性求内层函数的值域，再利用对数函数的单调性求整个函数的值域

解答：解：（1）f（x）≤g（x）?log₂（x+1）≤

1

2

log2(

x

2

+1)
?

(x+1)2≤ x 2 +1 x+1＞0 x 2 +1＞0

?

x2+ 3 2 x ≤ 0 x＞-1 x＞-2

?-1＜x≤0
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-

1

2

log2(

x

2

+1)=

1

2

log2

2(x+1)2

x+2

∵

2(x+1)2

x+2

=2×

x2+2x+1

x+2

=2×

(x+2)2-2(x+2)+1

x+2

=2（x+2）+

2

x+2

-4
而由-1＜x≤0，得1＜x+2≤2
∴2+2-4＜2（x+2）+

2

x+2

-4≤2×2+1-4，即0＜

2(x+1)2

x+2

≤1
∴F（x）=

1

2

log2

2(x+1)2

x+2

≤

1

2

log₂1=0
所以，F（x）的最大值为0

点评：本题考查了对数不等式的解法，复合函数最值的求法，利用函数的单调性求函数的最值，转化化归的思想方法