Question

已知椭圆过点，且长轴长等于4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是椭圆C的两个焦点，圆O是以为直径的圆，直线与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若，求的值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意长轴长为4求得的值，在由椭圆过点建立方程求解即可求出其标准方程；（2）由于圆O是以为直径的圆，直线与圆O相切，利用直线与圆相切的充要条件得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据建立k的方程求k即可.

试题解析：（1）由题意，椭圆的长轴长，得，

因为点在椭圆上，所以得，

所以椭圆的方程为.

（2）由直线l与圆O相切，得，即，

设，由消去y，整理得

由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以.

所以

因为，所以.

又因为，所以，，得k的值为.

考点：椭圆的标准方程.