Question

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为2k．
（Ⅰ）证明a₄，a₅，a₆成等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记Tn=

22

a2

+

32

a3

+…+

n2

an

，证明

3

2

＜2n-Tn≤2(n≥2)．

Answer 1

分析：（I）由题设可知，a₂=2，a₃=4，a₄=8，a₅=12，a₆=18．从而

a6

a5

=

a5

a4

=

3

2

，由此可知a₄，a₅，a₆成等比数列．
（II）由题设可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N^*．所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+（a₃-a₁）=2k（k+1），k∈N^*．由此可以推出数列{a_n}的通项公式．
（III）由题设条件可知a_2k+1=2k（k+1），a_2k=2k²，然后分n为偶数和n为奇数两种情况进行讨论，能够证明

3

2

＜2n-Tn≤2(n≥2)．

解答：（I）证明：由题设可知，a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+2=4，
a₄=a₃+4=8，
a₅=a₄+4=12，
a₆=a₅+6=18．
从而

a6

a5

=

a5

a4

=

3

2

，
所以a₄，a₅，a₆成等比数列；
（II）解：由题设可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N^*．
所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）
=4k+4（k-1）+…+4×1
=2k（k+1），k∈N^*．
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1），
从而a_2k=a_2k+1-2k=2k²．
所以数列{a_n}的通项公式为an=

n2-1 2 ，n为奇数 n2 2 ，n为偶数

或写为an=

n2

2

+

(-1)n-1

4

，n∈N^*．
（III）证明：由（II）可知a_2k+1=2k（k+1），a_2k=2k²，
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N^*）
若m=1，则2n-

n

k=2

k2

ak

=2，若m≥2，
则

n

k=2

k2

ak

=

m

k=1

(2k)2

a2k

+

m-1

k=1

(2k+1)2

a2k+1

=

m

k=1

4k2

2k2

+

m-1

k=1

4k2+4k+1

2k(k+1)

=2m+

m-1

k=1

[

4k2+4k

2k(k+1)

+

1

2k(k+1)

]=2m+

m-1

k=1

[2+

1

2

(

1

k

-

1

k-1

)]
=2m+2(m-1)+

1

2

(1-

1

m

)=2n-

3

2

-

1

n

．
所以2n-

n

k=2

k2

ak

=

3

2

+

1

n

，
从而

3

2

＜2n-

n

k=2

k2

ak

＜2，n=4，6，8，；
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N^*）

n

k=2

k2

ak

=

2m

k=2

k2

ak

+

(2m+1)2

a2m+1

=4m-

3

2

-

1

2m

+

(2m+1)2

2m(m+1)

=4m+

1

2

-

1

2(m-1)

=2n-

3

2

-

1

n+1

．
所以2n-

n

k=2

k2

ak

=

3

2

+

1

n+1

，从而

3

2

＜2n-

n

k=2

k2

ak

＜2，n=3，5，7，．
综合（1）和（2）可知，对任意n≥2，n∈N^*，有

3

2

＜2n-Tn ≤2．

点评：本题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．