Question

13．已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁为a（a∈R），且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对n∈N^*，试比较$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{a_{2^2}^{\;}}}+\frac{1}{{a_{2^3}^{\;}}}+…+\frac{1}{{a_{2^n}^{\;}}}$与$\frac{1}{a_1}$的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：${a_2}^2={a_1}•{a_4}$，即${（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+3d）$，整理得：${a_1}d={d^2}$，即可d=a₁=a，数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由a${a}_{{2}^{n}}$=2ⁿ•a，${T_n}=\frac{1}{a}（\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}）=\frac{1}{a}•\frac{{\frac{1}{2}（1-{{（\frac{1}{2}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{a}[1-{（\frac{1}{2}）^n}]$，当a＞0时，${T_n}＜\frac{1}{a_1}$；当$a＜0时，{T_n}＞\frac{1}{a_1}$．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可知${a_2}^2={a_1}•{a_4}$，
即${（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+3d）$，
∴${a_1}d={d^2}$，
∵d≠0，
∴d=a₁=a．
∴通项公式a_n=na．…（5分）
（Ⅱ）记${T_n}=\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2^2}}}}+…+\frac{1}{{{a_{2^n}}}}，因为{a_{2^n}}={2^n}a$
∴${T_n}=\frac{1}{a}（\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{2^n}）=\frac{1}{a}•\frac{{\frac{1}{2}（1-{{（\frac{1}{2}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{a}[1-{（\frac{1}{2}）^n}]$，
从而，当a＞0时，${T_n}＜\frac{1}{a_1}$；
当$a＜0时，{T_n}＞\frac{1}{a_1}$．…（5分）

点评 本题考查等差数列的性质及通项公式，等比数列前n项和公式，考查数列与不等式的综合应用，考查分类讨论思想，属于中档题．