Question

3．10名学生干部（名单见表2）进行内部评优，每人根据评分标准为自己和其他人打分，分值取0到10的整数．对某名干部的得分x_i（i=1，2，…，10）计算均值$\overline x$和标准差s，计区间$（\overline x-2s，\overline x+2s）$内的得分我“有效得分”，则这名干部的最终得分为其有效得分的平均分，最终得分最高的前4名干部评为优秀干部．
（1）表1为贝航的原始得分，请据此计算表2中a的值（保留两位小数），并判断贝航是否被评为了优秀干部；
（2）现从这十名干部中随机抽取3人前往香港大学进行为期两天的交流访问，设所选取的3人中女生人数为X，优秀干部人数为Y，求概率P（X≥1且Y≥1）．
表1

姓名	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10
贝航	9	9	10	8	9	9	6	9	9	7

表2

姓名	贝航	黄韦嘉	李萱	刘紫璇	罗迪威	王安国	肖悦	杨清源	袁佳仪	周紫薇
性别	女	男	女	女	男	男	女	男	女	女
最终得分	a	9.22	8.50	8.81	8.43	8.91	8.12	7.95	9.31	7.79

参考数据：$\sqrt{5}≈2.24$．

Answer 1

分析 （1）计算得$\overline x=8.5，s=\frac{{\sqrt{5}}}{2}≈1.12$，则有效得分区间为（6.26.10.74），包含表1中除去x₇的其余9个得分，计算其均值的最终得分a≈8.78，即可得出结论；
（2）事件X=0有$C_4^3=4$种基本事件，事件Y=0有$C_6^3=20$种基本事件，且两事件互斥，即可得出结论．

解答 解：（1）计算得$\overline x=8.5，s=\frac{{\sqrt{5}}}{2}≈1.12$，则有效得分区间为（6.26.10.74），包含表1中除去x₇的其余9个得分，计算其均值的最终得分a≈8.78．由表2知，贝航最终得分排名第5，没有被评为优秀干部．
（2）事件X=0有$C_4^3=4$种基本事件，事件Y=0有$C_6^3=20$种基本事件，且两事件互斥．
∴P（X≥1且Y≥1）=1-P（X=0或Y=0）=1-P（X=0）-P（Y=0）=$1-\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}-\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{4}{5}$…（12分）

点评 本题考查概率的计算，考查学生对数据的运用，属于中档题．