Question

20．已知圆C的方程（x-1）²+y²=1，P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A，B，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围为[2$\sqrt{2}$-3，$\frac{56}{9}$]．

Answer 1

分析 由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最小值，由P为左顶点，可得最大值，进而得到所求范围．

解答 解：设PA与PB的夹角为2α，
则|PA|=PB|=$\frac{1}{tanα}$，
∴y=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|PA||PB|cos2α=$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$•cos2α=$\frac{1+cos2α}{1-si{n}^{2}α}$•cos2α．
记cos2α=u，则y=$\frac{u（u+1）}{1-u}$=-3+（1-u）+$\frac{2}{1-u}$≥2$\sqrt{（1-u）•\frac{2}{1-u}}$-3=2$\sqrt{2}$-3，
∵P在椭圆的左顶点时，sinα=$\frac{1}{3}$，∴cos2α=1-2sin²α=1-$\frac{2}{9}$=$\frac{7}{9}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值为$\frac{1+\frac{7}{9}}{1-\frac{7}{9}}$•$\frac{7}{9}$=$\frac{56}{9}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的范围为[2$\sqrt{2}$-3，$\frac{56}{9}$]．
故答案为：[2$\sqrt{2}$-3，$\frac{56}{9}$]．

点评 本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．