Question

已知定点，过点F且与直线相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）若点A的坐标为，与曲线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线于点S，T.试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.

 

Answer 1

（1）.（2）以线段为直径的圆恒过两个定点.

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.

可得曲线的方程为.

（2）设点的坐标分别为，依题意得，.

由消去得，

应用韦达定理.

直线的斜率，

故直线的方程为.

令，得，

得到点的坐标为.点的坐标为.

得到.

设线段的中点坐标为，

而

.

故以线段为直径的圆的方程为.

令，得，解得或.

确定得到以线段为直径的圆恒过两个定点.

（1）由题意, 点到点的距离等于它到直线的距离,

故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线.

∴曲线的方程为. 4分

（2）设点的坐标分别为，依题意得，.

由消去得，

∴. 6分

直线的斜率，

故直线的方程为.

令，得，

∴点的坐标为.

同理可得点的坐标为.

∴

.

∴. 8分

设线段的中点坐标为，

则

.

∴以线段为直径的圆的方程为.

展开得. 11分

令，得，解得或.

∴以线段为直径的圆恒过两个定点. 13分

考点：抛物线的定义及其标准方程，直线方程，直线与圆锥曲线的位置关系，圆的方程.