Question

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F₁（0，﹣c），F₂（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
（2）已知椭圆（其中a²﹣b²=c²）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF₁与直线DF₂ 的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设⊙M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则由题设，得解得
∴M的方程为，
∴M的标准方程为；
（2）①⊙M与x轴的两个交点，，
又B（b，0），D（﹣b，0），
由题设即
所以
解得，即．
所以椭圆离心率的取值范围为；
 ②由（1），得．
由题设，得．
∴，．
∴直线MF₁的方程为，①
直线DF₂的方程为．②
由①②，得直线MF₁与直线DF₂的交点，易知为定值，
∴直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线上．