Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx（a为常数）．
（1）求f′（x）；
（2）当a=1时，求f（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值和最小值（e≈2.71828）；
（3）求证：ln

n

n-1

＞

1

n

．（n＞1，且n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）直接利用导数的运算法则即可求出f′（x）；
（2）把a=1代入其导函数，找到其在x∈[

1

e

，e]上的单调性，即可求出其最大值和最小值；
（3）先由（2）知f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，再令x=

n

n-1

，利用x＞1，f（x）＞f（1）即可证明结论．

解答：解：（1）因为函数f(x)=

1-x

ax

+lnx，
所以f'（x）=[

1-x

ax

]'+（lnx）'=

a x-1

ax2

即f′(x)=

ax-1

ax2

．（2分）
（2）当a=1时，f′(x)=

x-1

x2

，其中x∈[

1

e

，e]，
而x∈[

1

e

，1)时，f'（x）＜0；x∈（1，e]时，f'（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[

1

e

，e]上唯一的极小值点，（4分）
∴[f（x）]_min=f（1）=0．（5分）
又f(

1

e

)-f(e)=e-2-

1-e

e

-1=

e(e-2)-1

e

＞0，（6分）
∴f(

1

e

)＞f(e)，∴[f(x)]max=f(

1

e

)=e-2．（7分）
综上，当a=1时，f（x）在[

1

e

，e]上的最大值和最小值分别为e-2和0．（8分）
（3）若a=1时，由（2）知f(x)=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，（10分）
当n＞1时，令x=

n

n-1

，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，（12分）
即f(

n

n-1

)=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，
∴ln

n

n-1

＞

1

n

．（14分）

点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数和导数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点．