Question

已知α时第一象限角，sinα= 5 5 ，且tan(α+β)=2. (1)求tanα及tanβ的值；(2)求 sin(α+β) cos(α-β) 的值.

．

Answer 1

分析：（1）由于α是第一象限角，sinα=

5

5

，利用同角三角函数的基本关系求得cosα 和 tanα 的值，再由tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=2，求得tanβ 的值．
（2）利用两角和差的三角公式、同角三角函数的基本关系，把

sin(α+β)

cos(α-β)

化为

tanα+tanβ

1+tanαtanβ

，运算求得结果．

解答：解：（1）由于α是第一象限角，sinα=

5

5

，∴cosα=

2 5

5

，tanα=

sinα

cosα

=

1

2

．
再由tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 2 +tanβ

1- 1 2 tanβ

=2，求得tanβ=

3

4

．
（2）

sin(α+β)

cos(α-β)

=

sinαcosβ+cosαsinβ

cosαcosβ+sinαsinβ

=

tanα+tanβ

1+tanαtanβ

=

1 2 + 3 4

1+ 1 2 • 3 4

=

10

11

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、本题主要考查两角和差的正弦、余弦、正切公式的应用，属于中档题．