Question

在数列{a_n}中，a₁=a，且a_n+1=2S_n-2ⁿ-n²（n∈N^*）．
（1）若a₁，a₂，a₃-5成等比数列，求a的值．（2）求通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）题目给的条件是一个s_n与a_n同时出现在一个等式中的，要判断所给的几项成等比数列时字母系数的值，代入首项的值求出第二项和第三项结果，解方程求出．
（2）根据所给的等式，仿写一个，两式相减，把等式变成只有通项的形式，即条件变为数列的递推式，根据递推关系得到通项．本题易出错的地方是数列的首项要检验．

解答：解：（1）a₁=a，a₂=2S₁-2¹-1²=2a-3，
a₃-5=2（a₁+a₂）-2²-2²-5=6a-19，
∵a₁，a₂，a₃-5成等比数列，
∴（2a-3）²=a（6a-19），解得a=-1或a=

9

2

．
（2）∵a_n+1=2S_n-2ⁿ-n²（n∈N^*），①
∴a_n=2S_n-1-2^n-1-（n-1）²（n≥2，n∈N^*），②
∴当n≥2时，①-②得
a_n+1-a_n=2a_n-2^n-1-2n+1，
即a_n+1=3a_n-2^n-1-2n+1．
设a_n+1+p2ⁿ⁺¹+q（n+1）=3（a_n+p2ⁿ+qn），
由-4p+6p=-1，得p=-

1

2

，
由3qn-q（n+1）=-2n+1，得q=-1．
故n≥2时，数列{a_n-2^n-1-n}是以3为公比的等比数列．
∴an=

a                               (n=1) (2a-7) •3n-2+2n-1    (n≥2)

.

点评：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与 的关系．