题目内容

（1）已知函数 $数学公式$ 请判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性．
（2）求值： $数学公式$ ．

解：（1）函数 $\text{[math]}$ 在（2，+∞）上是增函数，
证明如下：设x₁＞x₂＞2，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+ $\text{[math]}$ -（x₂+ $\text{[math]}$ ）=（x₁-x₂）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∵x₁＞x₂＞2，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数 $\text{[math]}$ 在（2，+∞）上是增函数．
（2）原式= $\text{[math]}$
=（lg2）²+2lg2+lg5•lg2+lg5+2lg5+104
=（lg2）²+lg5•lg2+lg5+106=107．
分析：（1）先判断函数的单调性，再由定义法证明函数单调性的步骤进出证明，注意变形时主要利用通分；
（2）根据指数幂和对数运算性质进行化简求值，主要利用了lg2+lg5=0求值．
点评：本题考查了函数单调性的判断证明、以及指数和对数运算性质的应用，定义法证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形、判断符号、下结论；求值常用的方法是将根式化为分数指数幂的形式，指数式和对数式互化，以及将真数拆成几个数的积或商的形式．

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log1008+lg5•lg20+lg25+

3	82

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）已知函数f（x）=2sinx，x∈[0，

]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式，并判断f（x）是否为[0，

]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知b＞0，函数g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断曲线，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最小值，max{f（t）|x∈D}表示函数f（t）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）已知函数f（x）=2sinx（0≤x≤

），试写出f₁（x），f₂（x）的表达式，并判断f（x）是否为[0，

]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知b＞0，函数g（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

（1）已知函数

请判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性．
（2）求值：