题目内容

（1）已知函数f(x)=x+
4
x
，(x≠0)请判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性．
（2）求值：(lg2)2+
4
3
log1008+lg5•lg20+lg25+
382
+0.027-
2
3
×(-
1
3
)-2．
分析：（1）先判断函数的单调性，再由定义法证明函数单调性的步骤进出证明，注意变形时主要利用通分；
（2）根据指数幂和对数运算性质进行化简求值，主要利用了lg2+lg5=0求值．
解答：解：（1）函数f(x)=x+
4
x
，(x≠0)在（2，+∞）上是增函数，
证明如下：设x1＞x2＞2，
则f（x1）-f（x2）=x1+
4
x1
-（x2+
4
x2
）=（x1-x2）+
4(x2-x1) 
x1x2

=
(x1-x2)(x1x2-4 )   
x1x2

∵x1＞x2＞2，∴x1-x2＞0，x1x2＞4，x1x2-4＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数f(x)=x+
4
x
，(x≠0)在（2，+∞）上是增函数．
（2）原式=(lg2)2+2lg 2+lg5•(lg2+1)+2lg5+4+0.3-
2
3
×3 ×9
=（lg2）2+2lg2+lg5•lg2+lg5+2lg5+104
=（lg2）2+lg5•lg2+lg5+106=107．
点评：本题考查了函数单调性的判断证明、以及指数和对数运算性质的应用，定义法证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形、判断符号、下结论；求值常用的方法是将根式化为分数指数幂的形式，指数式和对数式互化，以及将真数拆成几个数的积或商的形式．
练习册系列答案
相关题目
已知下列命题：（1）已知函数f(x)=x+
p
x-1
（p为常数且p＞0），若f（x）在区间（1，+∞）的最小值为4，则实数p的值为
9
4
； （2）?x∈[0，
π
2
]，sinx+cosx＞
2
；（3）正项等比数列{an}中：a4．a6=8，函数f（x）=x（x+a3）（x+a5）（x+a7），则f′(0)=16
2
；（4）若数列{an}的前n项和为Sn=2n2-n+1，且bn=2an+1，则数列{bn}前n项和为Tn=4n2-n+2上述命题正确的序号是
 
．
（1）已知函数f(x)=sin(
1
2
x+
π
4
)，求函数在区间[-2π，2π]上的单调增区间；
（2）计算：tan70°cos10°(
3
tan20°-1)．
对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使当x∈[a，b]时，
f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
（1）已知函数f(x)=
x
是[0，+∞）上的正函数，试求f（x）的等域区间．
（2）试探究是否存在实数k，使函数g（x）=x2+k是（-∞，0）上的正函数？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
问题1：已知函数f(x)=
x
1+x
，则f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示为f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
问题2：已知函数f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．
设a是实数，f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)
（1）已知函数f(x)=a-
2
1+2x
(x∈R)是奇函数，求实数a的值．
（2）试证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数．

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