Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若不等式对任意的正实数都成立，求实数的最大整数；

（3）当时，若存在实数且，使得，求证： .

Answer 1

【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）当时， ，通过求导得出函数的单调性；（2）由可得对任意的正实数都成立，等价于对任意的正实数都成立，设，求出，即可求出实数的最大整数；（3）由题意，（ ），得出在上为减函数，在上为增函数，若存在实数， ，则介于之间，根据函数单调性列出不等式组，即可求证.

试题解析：（1）当时，

当时， ，

∴函数在区间上为减函数.

当时，，令，

当时， ；当时， ，

∴函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.

且，综上， 的单调减区间为，单调增区间为.

（2）由可得对任意的正实数都成立，即对任意的正实数都成立.

记，则 ，可得，

令

∴在上为增函数，即在上为增函数

又∵,

∴存在唯一零点，记为 ，

当时， ，当时， ，

∴在区间上为减函数，在区间上为增函数.

∴的最小值为.

∵，

∴，可得.

又∵

∴实数的最大整数为2.

(3)由题意，（ ），

令， 由题意可得， ,

当时， ；当时，

∴函数在上为减函数，在上为增函数.

若存在实数， ，则介于之间，不妨设.

∵在上单减，在上单增，且,

∴当时， ，

由，可得，故，

又∵在上单调递减，且

∴.

∴，同理，则,解得

∴.