Question

如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin2A-sin2C)=(

2

a-b)sinB，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：已知等式利用正弦定理化简，整理得到a²+b²-c²=

2

ab，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，利用正弦定理表示出c=

2

R，代入a²+b²-c²=

2

ab，整理后利用基本不等式求出ab的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：已知等式整理得：2RsinAsinA-2RsinCsinC=（

2

a-b）sinB，
即asinA-csinC=（

2

a-b）sinB，
利用正弦定理化简a²-c²=

2

ab-b²，即a²+b²-c²=

2

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2 ab

2ab

=

2

2

，
∵C为三角形内角，∴C=45°，
∵

c

sinC

=2R，∴c=2RsinC=

2

R，
∴a²+b²-2R²=

2

ab，
∴2R²+

2

ab=a²+b²≥2ab，即ab≤

2R2

2- 2

，
则S=

1

2

absinC=

2

4

ab≤

2

4

•

2R2

2- 2

，
则S_max=

2 +1

2

R²，此时a=b取得等号．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．