Question

（2013•天津）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为

3

，则p=（　　）

• A．1
• B．

  3

  2

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：求出双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程与抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为

3

，列出方程，由此方程求出p的值．

解答：解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴双曲线的渐近线方程是y=±

b

a

x
又抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-

p

2

，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±

pb

2a

，双曲线的离心率为2，所以

c

a

=2，则

b

a

=

3

，
A，B两点的纵坐标分别是y=±

pb

2a

=±

3 p

2

，
又，△AOB的面积为

3

，x轴是角AOB的角平分线
∴

1

2

×

3

p×

p

2

=

3

，得p=2．
故选C．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．