Question

（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．若实数a满足f(log2a)+f(log

1

2

a)≤2f(1)，则a的取值范围是（　　）

• A．[1，2]
• B．(0，

  1

  2

  ]
• C．[

  1

  2

  ，2]
• D．（0，2]

Answer 1

分析：根据偶函数的定义将所给的式子化为：f（|log₂a|）≤f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式求解．

解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f(log

1

2

a)=f(-log2a)=f(log2a)，
∴f(log2a)+f(log

1

2

a)≤2f(1)可变为f（log₂a）≤f（1），
即f（|log₂a|）≤f（1），
又∵在区间[0，+∞）上单调递增，且f（x）是定义在R上的偶函数，
∴

|log

a 2

|≤1，即-1≤lo

g

a 2

≤1，
解得

1

2

≤a≤2，
故选C．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，易错处是忽略定义域内的单调性不同，即对称区间单调性相反，注意自变量的取值范围，考查了学生的转化能力．