Question

（2013•天津）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-

1

2

，

1

2

]⊆A，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(

  1- 5

  2

  ，0)
• B．(

  1- 3

  2

  ，0)
• C．(

  1- 5

  2

  ，0)∪(0，

  1+ 3

  2

  )
• D．(-∞，

  1- 5

  2

  )

Answer 1

分析：排除法：取a=-

1

2

，由f（x+a）＜f（x），得（x-

1

2

）|x-

1

2

|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤

1

2

，x＞

1

2

讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜-1，-1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．

解答：解：取a=-

1

2

时，f（x）=-

1

2

x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x-

1

2

）|x-

1

2

|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得-

3

4

＜x＜0；
（2）0≤x≤

1

2

时，解得0≤x≤

1

2

；
（3）x＞

1

2

时，解得

1

2

＜x＜

5

4

，
综上知，a=-

1

2

时，A=（-

3

4

，

5

4

），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜-1时，解得x＞0，矛盾；
（2）-1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜-1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．

点评：本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．