题目内容
已知函数f（x）=x3-3x，过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围（ ）A．（-3，-2）
B．（-2，3）
C．（-2，-1）
D．（-1，1）
【答案】分析：先将过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x3-3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x3-3x2+m+3，g'（x）=6x2-6x=6x（x-1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围．
解答：解：由题意得：f′（x）=3x2-3，设切点为（x，y），
则切线的斜率k=3x2-3=
=
，
即2x3-3x2+m+3，由条件知该方程有三个实根，
∴方程2x3-3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，
记g（x）=2x3-3x2+m+3，g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）
令g'（x）=0，x=0或1，
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表
当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2，
由题意有，当且仅当
即
时，
函数g（x）有三个不同零点，
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）．
故选A．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
解答：解：由题意得：f′（x）=3x2-3，设切点为（x，y），
则切线的斜率k=3x2-3=
=
，即2x3-3x2+m+3，由条件知该方程有三个实根，
∴方程2x3-3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，
记g（x）=2x3-3x2+m+3，g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）
令g'（x）=0，x=0或1，
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表
| x | （-∞，0） | （0，1） | 1 | （1，+∞） | |
| g'（x） | + | - | + | ||
| g（x） | 递增 | 极大 | 递减 | 极小 | 递增 |
由题意有，当且仅当
即
时，函数g（x）有三个不同零点，
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）．
故选A．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|