Question

设函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1的极值点是0和4．
（1）求常数k的值；
（2）确定函数f（x）的单调区间；
（3）求f（x）的极值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3kx²+6（k-1）x，由于极值点是0和4，
∴0和4是方程3kx²+6（k-1）x=0的两根，可求得；
（2）由（1）可知f′（x）=3kx²+6（k-1）x=x²-4x=x（x-4），
∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，
0≤x≤4，f（x）为减函数；
（3）由（2）可判断极大值为，极小值为．
分析：（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx²+6（k-1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx²+6（k-1）x=x²-4x=x（x-4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可．
（3）把函数驻点带到f（x）中，判断极大极小值即可．
点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，理解函数驻点的意义．