题目内容

已知向量m=(sinA，  
1
2
)与n=(3，  sinA+
3
cosA)共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．
分析：（1）根据向量平行得出角2A的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．
（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件．
解答：解：（1）因为
m
∥
n
，所以sinA•(sinA+
3
cosA)-
3
2
=0；
所以
1-cos2A
2
+
3
2
sin2A-
3
2
=0，
即
3
2
sin2A-
1
2
cos2A=1，
即sin(2A-
π
6
)=1．
因为A∈（0，π），所以2A-
π
6
∈(-
π
6
，  
11π
6
)．
故2A-
π
6
=
π
2
，A=
π
3
；
（2）由余弦定理，得4=b2+c2-bc．
又S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc，
而b2+c2≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）
所以S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤
3
4
×4=
3
；
当△ABC的面积取最大值时，b=c．又A=
π
3
；
故此时△ABC为等边三角形．
点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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