Question

1．甲、乙两位乒乓球选手，在过去的40局比赛中，甲胜24局．现在两人再次相遇．
（1）打满3局比赛，甲最有可能胜乙几局，说明理由；
（2）采用“三局两胜”或“五局三胜”两种赛制，哪种对甲更有利，说明理由．（注：计算时，以频率作为概率的近似值．“三局两胜”就是有一方胜局达到两局时，就结束比赛；“五局三胜”就是有一方胜局达到三局时，就结束比赛）

Answer 1

分析 （1）由已知得甲胜k（k=0，1，2，3）局的概率为${P}_{3}（k）={C}_{3}^{k}{p}^{k}（1-p）^{3-k}$，由此能求出甲最有可能胜两局．
（2）分别求出三局两胜制甲胜的概率和五局三胜制甲胜的概率，由此能得到采用“五局三胜制”对甲有利．

解答 解：（1）比赛一局，甲胜的概率约为p=$\frac{24}{40}$=0.6．…（1分）
甲胜k（k=0，1，2，3）局的概率为${P}_{3}（k）={C}_{3}^{k}{p}^{k}（1-p）^{3-k}$．…（2分）
则${P}_{3}（0）={C}_{3}^{0}0．{4}^{3}$=0.0064，
${P}_{3}（1）={C}_{3}^{1}0.6•0．{4}^{2}$=0.288，
${p}_{3}（2）={C}_{3}^{2}0．{6}^{2}•0.4$=0.432，
${P}_{3}（3）={C}_{3}^{3}0．{6}^{3}$=0.216，…（5分）
因为甲P₃（2）最大，所以甲最有可能胜两局．…（6分）
（2）三局两胜制：
甲胜的概率为P₁=P₂（2）+P₂（1）×0.6=0.648，…（8分）
五局三胜制：
甲胜的概率为P₂=P₃（3）+P₃（2）×0.6+P₄（2）×0.6≈0.683，…（11分）
因为P₂＞P₁，所以采用“五局三胜制”对甲有利．…（12分）

点评 本题考查概率的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．