Question

【题目】已知椭圆C：+=1,(ab0)的离心率为，点（2，）在C上
（1）求C的方程；
（2）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

Answer 1

【答案】
（1）

+=1

（2）

设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），把y=kx+b代入+=1得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-8=0

故xM==,yM=KxM+b=,于是直线OM的斜率KOM==-，即KOMK=-

所以直线OM的斜率与直线l的侠侣乘积为定值。

【解析】（I）由题意有=,+=1解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为：+=1。
（II）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（xM，yM），
把y=kx+b代入+=1得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-8=0，
故xM==,yM=KxM+b=,于是直线OM的斜率KOM==-，即KOMK=-
所以直线OM的斜率与直线l的侠侣乘积为定值。
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．