Question

【题目】已知函数，其中是的导函数.

若.

（1）求的表达式；

（2）求证：，其中n∈N*.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据已知条件猜想，利用数学归纳法证得猜想成立.

（2）利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立.

（1）由题意可知，，

由已知

，，

猜想，下面用数学归纳法证明：

（i）当 n=1 时，，结论成立：

假设 n=k（k≥1，k∈N*） 时结论成立，即，

那么，当n=k+1（k≥1，k∈N*）时，

，即结论成立.

由（i）（ii）可知，结论对 n∈N* 成立.

（2）∵，

∴，

∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）

，

∴g（12﹣1）+g（22﹣1）+g（32﹣1）+…+g（n2﹣1）.