题目内容
M为△ABC内一点，过点M的一直线交AB边于P，交AC边于点Q，则条件p：“
+
=3”是条件q：“M点是△ABC的重心”成立的（ ）
| AB |
| AP |
| AC |
| AQ |
| A、充分而不必要条件 |
| B、必要而不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分又不必要条件 |
分析：根据三角形中线段长度之间的等量关系判断出条件p成立时，条件q也成立；反之通过三角形的重心满足的性质：到顶点距离等于到对边中点的2倍判断出条件q成立得到条件p成立，利用充要条件的定义加以判断．
解答：解：①∵P为AB边上（除A外）的任意一点所以当P与B重合时，
可得，
+
=3
∴
=2，
此时Q为AC边中点，
即直线BM过AC边中点．
同理，因为Q为AC边上（除A外）的任意一点
∴当Q与C重合时，可得，
+
=3
∴
=2，此时P为AB边中点，
即直线CM过AB边中点
设D为AC边中点，E为AB边中点，连接ED，直线AM分别交ED、BC于G、F，
∵ED是△ABC的一条中位线，
∴
=
=
∵
=
=
=
=
，
∴
=
=
，
∴BF=FC
∵BF=FC，
∴F为BC边上中点因为直线BM过AC边中点D，直线CM过AB边中点E，直线 AM过BC边中点F
∴M为△ABC的重心．
②若已知M为重心，亦可求证：
+
=3．
证明：作BF、CE平行于PQ，分别交AC、AB于F、E，
AM的延长分别交CE、BC、BF于G、D、H，
∵M为△ABC的重心，
∴D为BC边中点
∵BF平行于PQ，CE平行于PQ，
∴BF平行于CE
∵BD=DC，BF平行于CE，
∴GD=DH
∵M为△ABC的重心，
∴AM=2MD=MD+（MG+GD）
∵GD=DH，AM=MD+（MG+GD）
∴AM=MD+MG+DH=（MD+DH）+MG=MH+MG
∵AM=MH+MG，
∴3AM=（AM+MH）+（AM+MG）=AH+AG
∵3AM=AH+AG
∴3=
+
∵BF平行于PQ，
∴
=
∵CE平行于PQ，
∴
=
3=
+
=
+
∴
+
=3
∴p是q的充要条件
故选C
可得，
| AB |
| AB |
| AC |
| AQ |
∴
| AC |
| AQ |
此时Q为AC边中点，
即直线BM过AC边中点．
同理，因为Q为AC边上（除A外）的任意一点
∴当Q与C重合时，可得，
| AB |
| AP |
| AC |
| AC |
∴
| AB |
| AP |
即直线CM过AB边中点
设D为AC边中点，E为AB边中点，连接ED，直线AM分别交ED、BC于G、F，
∵ED是△ABC的一条中位线，
∴
| EG |
| BF |
| AE |
| AB |
| 1 |
| 2 |
∵
| EG |
| FC |
| EM |
| MC |
| DM |
| MB |
| ED |
| BC |
| 1 |
| 2 |
∴
| EG |
| BF |
| EG |
| FC |
| 1 |
| 2 |
∴BF=FC
∵BF=FC，
∴F为BC边上中点因为直线BM过AC边中点D，直线CM过AB边中点E，直线 AM过BC边中点F
∴M为△ABC的重心．
②若已知M为重心，亦可求证：
| AB |
| AP |
| AC |
| AQ |
证明：作BF、CE平行于PQ，分别交AC、AB于F、E，
AM的延长分别交CE、BC、BF于G、D、H，
∵M为△ABC的重心，
∴D为BC边中点
∵BF平行于PQ，CE平行于PQ，
∴BF平行于CE
∵BD=DC，BF平行于CE，
∴GD=DH
∵M为△ABC的重心，
∴AM=2MD=MD+（MG+GD）
∵GD=DH，AM=MD+（MG+GD）
∴AM=MD+MG+DH=（MD+DH）+MG=MH+MG
∵AM=MH+MG，
∴3AM=（AM+MH）+（AM+MG）=AH+AG
∵3AM=AH+AG
∴3=
| AH |
| AM |
| AG |
| AM |
∵BF平行于PQ，
∴
| AH |
| AM |
| AB |
| AP |
∵CE平行于PQ，
∴
| AG |
| AM |
| AC |
| AQ |
3=
| AH |
| AM |
| AG |
| AM |
| AB |
| AP |
| AC |
| AQ |
∴
| AB |
| AP |
| AC |
| AQ |
∴p是q的充要条件
故选C
点评：判断应该条件是另一个条件的什么条件，应该先判断前者成立是否能推出后者成立，反之后者成立是否能推出前者成立，再利用充要条件的定义加以判断；解决三角形的重心问题要注意三角形的重心满足的性质：到顶点距离等于到对边中点的2倍．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，D为AB上一点，M为△ABC内一点，且满足
=
，
=
+
，则△AMD与△ABC的面积比为（ ）
| AD |
| 3 |
| 4 |
| AB |
| AM |
| AD |
| 3 |
| 5 |
| BC |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
”是条件q：“M点是△ABC的重心”成立的（）
”那么M一定是△ABC的（ ）