题目内容
已知数列{an}中a1=
，a2=
．当n≥2时3an+1=4an-an-1．（n∈N*）
（Ⅰ）证明：{an+1-an}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项；
（Ⅲ）若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，求λ的最小值．
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（Ⅰ）证明：{an+1-an}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项；
（Ⅲ）若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，求λ的最小值．
分析：（Ⅰ）数列{an}中a1=
，a2=
．当n≥2时3an+1=4an-an-1．（n∈N*），由此能够证明{an+1-an}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1-an=
(
)n-1，故an-an-1=
(
)n-2，an-1-an-2=
(
)n-3，…a2-a1=
(
)0，由累加法能够求出数列{an}的通项公式．
（Ⅲ）若对任意n∈N*，有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，则λ≥
在n∈N*时恒成立．故需求(1-
)•(1-
)•…•(1-
)在n∈N*上的最小值．由此能求出λ的最小值．
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1-an=
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（Ⅲ）若对任意n∈N*，有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，则λ≥
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| a1a2a3…an |
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解答：（Ⅰ）证明：∵数列{an}中，a1=
，a2=
．
当n≥2时3an+1=4an-an-1．（n∈N*）
∴当n≥2时3an+1-3an=an-an-1，
即an+1-an=
(an-an-1)．
所以{an+1-an}是以a2-a1=
为首项，以
为公比的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an+1-an=
(
)n-1，
故an-an-1=
(
)n-2，
an-1-an-2=
(
)n-3，
…
a2-a1=
(
)0，
累加得an-a1=
-(
)n，
所以an=1-(
)n．…（9分）
（Ⅲ）解：若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，
则λ≥
在n∈N*时恒成立．
故需求(1-
)•(1-
)•…•(1-
)在n∈N*上的最小值．
现证n∈N*时有(1-
)•(1-
)•…•(1-
)＞
显然，左端每个因式都是正数，
先证明，对每个n∈N*，有(1-
)•(1-
)•…•(1-
)≥1-（
+
+…+
）
用数学归纳法证明上式：
（ⅰ）n=1时，上式显然成立，
（ⅱ）假设n=k时，结论成立，
即(1-
)•(1-
)•…•(1-
)≥1-（
+
+…+
）
则当n=k+1时，(1-
)•(1-
)•…•(1-
)•(1-
)
≥[1-(
+
+…+
)]•(1-
)
=1-（
+
+…+
）-
+
（
+
+…+
）
≥1-（
+
+…+
+
），
即当n=k+1时，结论也成立．
故对一切n∈N*，(1-
)•(1-
)•…•(1-
)≥1-（
+
+…+
）成立．
所以(1-
)•(1-
)•…•(1-
)≥1-（
+
+…+
）
=1-
=1-
[1-(
)n]=
+
(
)n＞
．
∵1-
∈(0，1)，
∴(1-
)•(1-
)•…•(1-
)≤
，
故a1a2a3…an∈(
，
]，
∈[
，2)，
而λ≥
在n∈N*时恒成立且λ∈N*，
所以λ的最小值为2．…（14分）
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当n≥2时3an+1=4an-an-1．（n∈N*）
∴当n≥2时3an+1-3an=an-an-1，
即an+1-an=
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所以{an+1-an}是以a2-a1=
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（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知an+1-an=
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故an-an-1=
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an-1-an-2=
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…
a2-a1=
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累加得an-a1=
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所以an=1-(
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（Ⅲ）解：若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，
则λ≥
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| a1a2a3…an |
故需求(1-
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现证n∈N*时有(1-
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显然，左端每个因式都是正数，
先证明，对每个n∈N*，有(1-
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用数学归纳法证明上式：
（ⅰ）n=1时，上式显然成立，
（ⅱ）假设n=k时，结论成立，
即(1-
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则当n=k+1时，(1-
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| 3k+1 |
≥[1-(
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| 3k+1 |
=1-（
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| 3k+1 |
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≥1-（
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| 3k+1 |
即当n=k+1时，结论也成立．
故对一切n∈N*，(1-
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所以(1-
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=1-
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∴(1-
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故a1a2a3…an∈(
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| a1a2a3…an |
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而λ≥
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| a1a2a3…an |
所以λ的最小值为2．…（14分）
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查最小值的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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