Question

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A＜B＜C，B=60°，且满足

(1+cos2A)(1+cos2C)

=

1

2

(

3

-1)．
求：
（1）A、B、C的大小；
（2）

a+ 2 b

c

的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得A+C=2B=120°，故三内角成等差数列，化简条件可得2cosAcosC=

3 -1

2

．再由积化和差公式可得cos（-A+C）=

3

2

，故C-A=30°，由此可得 A和C的值．
（2）先求出sinA和sinB 的值，再利用两角和的正弦公式求得sinC的值，利用正弦定理求得

a+ 2 b

c

=

sinA+ 2 sinB

sinC

的值．

解答：解：（1）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A＜B＜C，B=60°，
故有A+C=2B=120°，故三内角成等差数列．
由

(1+cos2A)(1+cos2C)

=

1

2

(

3

-1) 可得

2cos2A•2cos2C

=

3 -1

2

，即 2cosAcosC=

3 -1

2

．
故有cos

A+C

2

+cos

C-A

2

=

3 -1

2

，解得cos（-A+C）=

3

2

，∴C-A=30°，∴A=45°，C=75°．
综上可得，A=45°，B=60°，C=75°．
（2）由于sinA=sin45°=

2

2

，sinB=sin60°=

3

2

，sinC=sin（45°+30°）
=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

6 + 2

4

，
∴

a+ 2 b

c

=

sinA+ 2 sinB

sinC

=

2 2 + 2 × 3 2

6 + 2 4

=2．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，等差数列的定义和性质，正弦定理的应用，属于中档题．