Question

8．已知中心在原点的椭圆与双曲线的公共焦点F₁、F₂都在x轴上，记椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若△PF₁F₂是以PF₁（F₁为左焦点）为底边的等腰三角形，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 利用离心率的定义，及双曲线的离心率的值为3，|F₁F₂|=|PF₂|，可求得|PF₂|=2c，|PF₁|=3c，利用椭圆的定义，可得结论．

解答 解：设|PF₁|+|PF₂|=2a′，|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵△PF₁F₂是以PF₁（F₁为左焦点）为底边的等腰三角形，双曲线的离心率为3，
∴|PF₂|=2c，$\frac{c}{a}$=2，
∴a=$\frac{c}{2}$，
∴|PF₁|=3c，
∴5c=2a′，
∴$\frac{c}{a′}$=$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题．