Question

（08年银川一中三模理）（12分）

在三棱锥中，，.

   （Ⅰ）证明：⊥；

   （Ⅱ）求二面角A-BC-S的大小；

   （Ⅲ）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.

Answer 1

解析：解法一：

     解：（Ⅰ）且平面.-------------2分                 

为在平面内的射影.         --------3分                                            

又⊥, ∴⊥.            ----------4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥，

∴为所求二面角的平面角.         -------6分

又∵==4,

∴=4 .  ∵=2 , ∴=60°. -------8分

即二面角大小为60°.

（Ⅲ）过作于D，连结,            

由（Ⅱ）得平面平面,又平面,

∴平面平面,且平面平面,

∴平面.

∴为在平面内的射影.

. --------10分

在中，，

在中，，.

∴ =.                       ------------11分  

所以直线与平面所成角的大小为.         ----12分

 

解法二：解：（Ⅰ）由已知，

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.                             

则 ,.            -------2分  

则，.

.     

.       ----------------4分

   （Ⅱ），平面.

是平面的法向量. -------5分

设侧面的法向量为,

,.

,

      .令则.

则得平面的一个法向量.               ---------6分

.       

即二面角大小为60°.     ----------8分

（Ⅲ）由（II）可知是平面的一个法向量.     --------10分

又， .   -----11分

所以直线与平面所成角为           ---------12分