Question

已知函数．
（1）求f（x）的值域；
（2）设a≠0，函数，x∈[0，2]．若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0．求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）对函数f（x）求导，．
令f'（x）=0得x=1或x=-1．
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，2）上单调递减．
又，
所以当x∈[0，2]，f（x）的值域是；
（2）设函数g（x）在[0，2]上的值域是A．
∵对任意x₁∈[0，2]，总存在x₀∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₀）=0，
∴．
对函数g（x）求导，g'（x）=ax²-a²．
①当a＜0时，若x∈（0，2），g'（x）＜0，所以函数g（x）在（0，2）上单调递减．
∵，
∴当x∈[0，2]时，不满足；
②当a＞0时，．
令g'（x）=0，得或（舍去）．
（i）当x∈[0，2]，时，列表：

∵，
又∵，∴，解得．
（ii）当x∈（0，2），时，g'（x）＜0，∴函数在（0，2）上单调递减，
∵g（0）=0，∴∴当x∈[0，2]时，不满足．
综上，实数a的取值范围是．
分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数等于求出x的值，然后由x的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值即可得到f（x）的值域；
（2）设函数g（x）在[0，2]上的值域是A，根据题意对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0，得到区间[0，2]是A的子集，求出g（x）的导函数，分a小于0和a大于0两种情况讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值，即可得到函数在相应区间的值域，根据区间[0，2]是A的子集判断出符合这一条件的情况，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意a的取值范围．
点评：此题考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，灵活运用分类讨论的数学思想，会利用导数求函数的值域，是一道综合题．