Question

（本小题满分14分）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，
，……………………2分
,
所以曲线在点处的切线方程为.        ……………4分
（Ⅱ），令，解得 ……………6分
因为，以下分两种情况讨论：      
（1）若变化时，的变化情况如下表：

	+		+

   
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是.………8分
（2）若，当变化时，的变化情况如下表：

	+		+

   
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是……………………………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，
以下分两种情况讨论：
（1）当时，在（0，1）内单调递减，
.
所以对任意在区间（0，1）内均存在零点.………………………12分
（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，
若,
.  所以内存在零点.
若.
,        所以内存在零点. …………………13分
所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点.
综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点.  …………………14分

略