题目内容
如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．
【答案】
（1）
=80+
60tanα;（2）
,
.
【解析】
试题分析：（1）过E作
，垂足为M，由题意得∠MEF=α, 故有
，
，
,化简即可；（2）
，利用导数求出
的最大值和相应的角度即可.
试题解析：（1）如图，过E作，垂足为M，由题意得∠MEF=α，
故有，，， 3分
所以
=80+ 60tanα（其中
8分
（2）W
．
设，
则
． 11分
令
得
，即
，得．
列表
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
|
|
|
单调递增 |
极大值 |
单调递减 |
所以当时有
，此时有． 14分
答：铺设水管的最小费用为
万元，相应的角．
16分
考点：函数模型的应用、利用导数求函数极值、三角函数综合.
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排，在路南侧沿直线
排，现要在矩形区域
内沿直线将
，
，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的
部分的排管费用为每米2万元，设
所成的小于
的角为
．
关于