题目内容

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线AE排水管l1，在路南侧沿直线CF排水管l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为α．矩形区域ABCD内的排管费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．
分析：（1）过E作EM⊥BC得到角α，解直角三角形把MF用含α的代数式表示，把AE，FC也用含α的代数式表示，然后即可得到W关于α的函数关系式；
（2）利用导数求矩形区域ABCD内的排管费用为W的最小值．
解答：解：（1）如图，

过E作EM⊥BC，
垂足为M，由题意得∠MEF=α（0≤tanα≤
4
3
），
故有MF=60tanα，EF=
60
cosα
，AE+FC=80-60tanα，
所以W=(80-60tanα)×1+
60
cosα
×2=80-60•
sinα
cosα
+120•
1
cosα
=80-60•
sinα-2
cosα
．
（2）设f(α)=
sinα-2
cosα
（其中0≤α≤α0＜
π
2
，tanα0=
4
3
），
则f′(α)=
cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)
cos2α
=
1-sin2α
cos2α
．
令f′（α）=0得1-2sin2α=0，即sinα=
1
2
，得α=
π
6
．
列表
α (0，
π
6
)
π
6
 (
π
6
，α0)
f′（α） + 0 -
f（α） 单调递增 极大值 单调递减
所以当α=
π
6
时有f(α)max=
sin
π
6
-2
cos
π
6
=
1
2
-2
3
2
=-
3
，此时有Wmin=80+60
3
．
答：排管的最小费用为80+60
3
万元，相应的角α=
π
6
．
点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了利用导函数求函数的最值，对于实际问题要注意的是需要注明具有实际意义的函数定义域，正确的建模是解答该题的关键，是中档题．
练习册系列答案
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如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排l1，在路南侧沿直线排l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=60
3
m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为α．矩形区域内的排管费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．
如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l1排，在路南侧沿直线l2排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90°的角为α．
（Ⅰ）求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α的函数关系；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．

如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．

（1）求W关于α的函数关系式；

（2）求W的最小值及相应的角α．

 

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为．

（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；

（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．

 

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