Question

（2004•武汉模拟）（理科）在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AC′为对角线，M、N分别为BB′，B′C′中点，P为线段MN中点．
（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切；
（2）求DP和AC′所成角．

Answer 1

分析：（1）要求DP和平面ABCD所成的角的正切，关键是确定DP和面ABCD所成角，根据面BC′⊥面AC，故可作PH⊥BC，从而可得∠HDP为所求；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，进而利用向量的夹角求异面直线所成角．

解答：解：（1）过P作PH⊥BC于足H，连DH，
∵面BC′⊥面AC，则PH⊥面ABCD，
∴DP和面ABCD所成角即为∠HDP．
在正方形BCC′B′，M，N分别为BB′，B′C′中点，P为MN中点，
又B′C′=1，则PH=

3

4

，BH=

1

4

，CH=

3

4

，
DH=

DC2+DH2

=

1+( 3 4 )2

=

5

4

在Rt△PHD中，tan∠HDP=

3 4

5 4

=

3

5

(6分)
（2）建立如图空间直角坐标系
A(0，0，1)，C′(1，1，0)，则

AC′

=(1，1，-1)，
D(0，1，1)，P(1，

1

4

，

1

4

)．
则

DP

=(1，-

3

4

，-

3

4

)
设

AC

和

DP

夹角为θ
cosθ=

(1，1，-1)•(1，- 3 4 ，- 3 4 )

3 • 1+ 9 16 + 9 16

=

4

102

θ=arccos

4

102

=arccos

2 102

51

(12分)

点评：本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面面角与线线角，关键是线面角的确定，及用空间向量解决线线角．