Question

（本题满分10分）已知函数．

 （I）讨论的单调性；

 （II）设，证明：当时，；

 （III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，

     证明：（x₀）＜0．

 

Answer 1

【答案】

（1）单调增加，在单调减少；（2）当，（3）见解析.

【解析】第一问利用导数求解得到。

（I） 

   （i）若单调增加.

   （ii）若且当

所以单调增加，在单调减少.

第二问中，构造函数设函数则   

结合导数得到单调性判定进而求解。

第三问中，由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为

解：（I） 

   （i）若单调增加.

   （ii）若且当

所以单调增加，在单调减少.  ………………3分

（II）设函数则   

当.

故当，   ………………6分

（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为

不妨设  

由（II）得从而

由（I）知，   ………………10分