Question

已知点P在△ABC所在平面外,PA=PB,CB⊥平面PAB,M为PC的中点,N在AB上,如图所示,问当N在AB的什么位置上时,有MN⊥AB?

Answer 1

解析:欲证MN⊥AB,注意到AB是平面PAB内的一条直线,MN是这一平面的一条斜线,所以只需证MN在平面PAB内的射影与AB垂直.

如图所示,取PB中点E,

连结EM,则EM∥BC.

又BC⊥平面PAB,所以EM⊥平面PAB.

设AB中点为F,因为PA=PB,所以PF⊥AB.

作EN∥PF,且EN∩AB=N,则EN⊥AB.

由三垂线定理知MN⊥AB.

此时N为AB的一个四等分点,且.

所以当N是AB的一个四等分点且距B为AB时,MN⊥AB.

小结:三垂线定理或其逆定理可以看作是线面垂直的一种性质定理.如本例,由ME⊥平面PAB,有ME⊥AB,又EN⊥AB,所以AB⊥平面MEN.

所以AB⊥MN.但为方便起见,我们应该熟悉三垂线定理及其逆定理的直接使用.