Question

已知点P（x，y）在△ABC所围成的三角形区域中（包括边界）其中三顶点A（1，1），B（5，2），C（1，4），若z=ax+y取最大值时的最优解有无数个，则正数a的值为

 

．

Answer 1

分析：先根据三顶点A（1，1），B（5，2），C（1，4）画出可行域，设z=ax+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线ax+y=z与可行域内的边BC平行时，z=ax+y取最大值时的最优解有无数个，从而得到a值即可．

解答：解：先根据约束条件画出可行域，
设z=ax+y，
将最大值转化为y轴上的截距，
当直线ax+y=z与可行域内的边BC平行时，z=ax+y取最大值时的最优解有无数个，将a等价为斜率的相反数，
数形结合，得kBC=-

1

2

，
∴a=

1

2

，
故答案为：

1

2

．

点评：本题主要考查了简单线性规划，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．