Question

11．如图，半径为1，圆心角为$\frac{3π}{2}$的圆弧$\widehat{AB}$上有一点C．
（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|的最小值；
（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧$\widehat{AB}$上运动时，求$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，以OA为x轴正方向，建立图示坐标系，设D（t，0）（0≤t≤1），求出C坐标，推出$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=（t-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，然后求出模的最小值．
（2）设C（cosθ，sinθ），$θ∈[0，\frac{3}{2}π]$，求出$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CD}$的表达式，即可求出$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范围．

解答 解：（1）以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则$A（1，0），B（0，-1），C（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
设D（t，0）（0≤t≤1），则$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=（t-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
所以$|\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}|=\sqrt{{{（t-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}+{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}$，
当$t=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，$|\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}{|_{min}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）由题意$D（\frac{1}{2}，0），E（0，-\frac{1}{2}）$，设C（cosθ，sinθ），$θ∈[0，\frac{3}{2}π]$
所以$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CD}=（cosθ-\frac{1}{2}，sinθ）（cosθ，sinθ+\frac{1}{2}）=1+\frac{1}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+1$．
因为$θ∈[0，\frac{3}{2}π]$，则$sin（θ-\frac{π}{4}）∈[-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，所以$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{CD}∈[\frac{1}{2}，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．

点评 本题考查向量的数量积，向量的表示方法，三角运算，考查转化思想，计算能力．